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【题目一】设函数 \( f(x) = \ln(x+1) - x^2 \)，求 \( f(x) \) 的极值。
【解析一】首先，求 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) \)。利用链式法则和幂函数的导数公式，得到 \( f'(x) = \frac{1}{x+1} - 2x \)。令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = -\frac{1}{2} \)。再求二阶导数 \( f''(x) \)，得 \( f''(x) = -\frac{1}{(x+1)^2} - 2 \)。代入 \( x = -\frac{1}{2} \) 得 \( f''(-\frac{1}{2}) = -\frac{9}{4} \)，由于 \( f''(-\frac{1}{2}) < 0 \)，故 \( x = -\frac{1}{2} \) 是 \( f(x) \) 的极大值点。计算 \( f(-\frac{1}{2}) \)，得极大值为 \( f(-\frac{1}{2}) = \ln(\frac{1}{2}) + \frac{1}{4} \)。
【题目二】设 \( A \) 为 \( n \times n \) 矩阵，证明：若 \( A^2 = A \)，则 \( A \) 的特征值为 \( 0 \) 或 \( 1 \)。
【解析二】假设 \( \lambda \) 是 \( A \) 的任意特征值，\( \alpha \) 是对应的特征向量，则 \( A\alpha = \lambda\alpha \)。由 \( A^2 = A \) 可得 \( A^2\alpha = A\alpha \)，即 \( \lambda^2\alpha = \lambda\alpha \)。若 \( \alpha \neq 0 \)，则 \( \lambda(\lambda - 1) = 0 \)，所以 \( \lambda = 0 \) 或 \( \lambda = 1 \)。因此，\( A \) 的特征值只能是 \( 0 \) 或 \( 1 \)。
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