在2011年考研数学一的第23题中，考生需要运用高等数学中的微分方程知识，解决一个涉及函数导数和积分的实际问题。题目通常是这样的：已知函数\( f(x) \)在区间\( [0, +\infty) \)上连续，且满足微分方程\( f'(x) + f(x) = x^2 \)，求\( f(x) \)的表达式。
解题思路如下：
1. 首先，识别这是一个一阶线性微分方程。
2. 使用积分因子法求解，积分因子为\( e^{\int 1 \, dx} = e^x \)。
3. 将微分方程两边乘以积分因子，得到\( e^x f'(x) + e^x f(x) = x^2 e^x \)。
4. 左边可以写为\( (e^x f(x))' \)，于是方程变为\( (e^x f(x))' = x^2 e^x \)。
5. 对两边积分，得到\( e^x f(x) = \int x^2 e^x \, dx + C \)。
6. 利用分部积分法求解\( \int x^2 e^x \, dx \)，最终得到\( f(x) \)的表达式。
【考研刷题通】微信小程序，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目刷题，助你高效备战，轻松应对各类考研数学题目。立即加入，开启你的考研刷题之旅！