在备战考研的征途上，数学真题是检验学习成果的利器。以下是一份精心挑选的考研数学真题及答案，助你深入剖析考点，提升解题技巧。
真题一：
设函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)，求 \( f(x) \) 的极值。
答案一：
首先求导 \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \)，令 \( f'(x) = 0 \) 得 \( x = 1 \) 或 \( x = 3 \)。通过二阶导数检验，得 \( x = 1 \) 为极大值点，\( x = 3 \) 为极小值点。计算得极大值为 \( f(1) = 4 \)，极小值为 \( f(3) = 0 \)。
真题二：
已知 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = 2 \)，求 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} \)。
答案二：
利用极限的性质，有 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = 3 \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = 3 \times 2 = 6 \)。
真题三：
设 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求 \( A \) 的特征值和特征向量。
答案三：
特征多项式 \( \det(\lambda E - A) = (\lambda - 1)(\lambda - 5) = 0 \)，得特征值 \( \lambda_1 = 1 \)，\( \lambda_2 = 5 \)。对应的特征向量分别为 \( k_1 \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \) 和 \( k_2 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \)，其中 \( k_1, k_2 \) 为任意常数。
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