2018年考研数学第八题：已知函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$，求函数$f(x)$的极值点。
解答过程如下：
1. 首先求函数$f(x)$的一阶导数$f'(x)$：
$$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$$
2. 令$f'(x) = 0$，解得$x = 1$或$x = 3$。
3. 求函数$f(x)$的二阶导数$f''(x)$：
$$f''(x) = 6x - 12$$
4. 将$x = 1$和$x = 3$分别代入$f''(x)$，得到：
$$f''(1) = -6 < 0$$
$$f''(3) = 6 > 0$$
5. 根据二阶导数检验法，当$f''(1) < 0$时，$x = 1$是$f(x)$的极大值点；当$f''(3) > 0$时，$x = 3$是$f(x)$的极小值点。
6. 计算极大值和极小值：
$$f(1) = 1^3 - 6 \times 1^2 + 9 \times 1 + 1 = 5$$
$$f(3) = 3^3 - 6 \times 3^2 + 9 \times 3 + 1 = -1$$
综上所述，函数$f(x)$的极大值点为$x = 1$，极大值为5；极小值点为$x = 3$，极小值为-1。
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