在探索高等数学的深邃奥秘时，以下是一道经典考研题及其详细答案解析：
题目：设函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)，求其在区间 \([1, 3]\) 上的最大值和最小值。
答案解析：
1. 首先求出函数的导数：\( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \)。
2. 令导数等于零，解得 \( f'(x) = 0 \) 的解为 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \)。
3. 检查这两个点在区间 \([1, 3]\) 内，同时计算 \( f(1) = 4 \) 和 \( f(3) = 0 \)。
4. 比较区间端点与临界点的函数值，发现 \( f(1) = 4 \) 为最大值，\( f(3) = 0 \) 为最小值。
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