2013年数学一考研真题答案解析如下：
一、选择题
1. 解析：选项D正确，根据题意，该级数收敛，故选D。
2. 解析：选项A正确，根据泰勒公式，展开后可得到该极限值。
3. 解析：选项C正确，根据向量点乘的性质，可得该向量的模长。
4. 解析：选项B正确，由题意得矩阵的行列式不为零，故矩阵可逆。
5. 解析：选项D正确，根据题意，函数在区间上单调递增。
二、填空题
6. 解析：该函数的导数为1，故原函数为x+c。
7. 解析：根据题意，该矩阵的特征值为1，-1，-1，故特征向量分别为(1,1,1)^T，(1,-1,1)^T，(1,1,-1)^T。
8. 解析：根据题意，该级数收敛，故选B。
三、解答题
9. 解析：首先，利用洛必达法则求极限。然后，根据题意，求解该函数的极值。
10. 解析：首先，对函数求导，然后根据题意，判断函数的单调性。
11. 解析：首先，利用矩阵的行列式求解特征值，然后根据特征值求特征向量。
12. 解析：首先，根据题意，列出方程组。然后，利用线性方程组的求解方法求解未知数。
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