2022年数学二考研真题试卷解析如下：
一、选择题（每题5分，共30分）
1. 设函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$，则$f'(x)$的零点为：
A. $x = -1$
B. $x = 1$
C. $x = -2$
D. $x = 2$
2. 下列级数中，收敛的是：
A. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$
B. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$
C. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$
D. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}$
3. 设$A$为3阶方阵，且$A^2 - 3A + 2E = 0$，则$A$的行列式$|A|$等于：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4. 下列函数中，可导的是：
A. $f(x) = |x^2 - 1|$
B. $f(x) = \sqrt[3]{x}$
C. $f(x) = \ln(x^2)$
D. $f(x) = \frac{1}{x}$
5. 设$f(x) = e^x \sin x$，则$f'(0)$等于：
A. 1
B. 0
C. -1
D. $\frac{1}{2}$
二、填空题（每题5分，共20分）
6. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x - 3x}{x^2}$的值为______。
7. 设$a > 0$，则$\int_0^a x^2 e^x \, dx$的值为______。
8. 若$A$为3阶方阵，且$A^2 - 5A + 6E = 0$，则$A^{-1}$的行列式为______。
9. 设$f(x) = x^3 - 3x + 2$，则$f''(1)$的值为______。
三、解答题（每题20分，共80分）
10. 解微分方程$\frac{dy}{dx} = y^2 + x^2$。
11. 计算定积分$\int_0^{\pi} x^2 \sin x \, dx$。
12. 设$A$为3阶方阵，且$A^2 - 3A + 2E = 0$，求$A^{-1}$。
13. 设$f(x) = e^x \sin x$，求$f(x)$在$x = 0$处的泰勒展开式。
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