在考研数学一中，幂级数求和问题通常涉及对已知幂级数进行展开和求和。以下是一个基于历年真题的幂级数求和问题解答示例：
题目：已知幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在 $x=2$ 处收敛，求 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n 2^n$ 的值。
解答：
1. 由于幂级数在 $x=2$ 处收敛，根据收敛半径的定义，可以得出收敛半径 $R \geq 2$。
2. 设 $S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$，那么 $S'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}$。
3. 对 $S(x)$ 在 $x=2$ 处求导，得 $S'(2) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n 2^{n-1}$。
4. 因为 $S(x)$ 在 $x=2$ 处收敛，所以 $S'(2)$ 也有意义，即 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_n 2^{n-1}$ 收敛。
5. 由幂级数的性质，$S'(2) = \frac{d}{dx}\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\right)\bigg|_{x=2} = \frac{d}{dx}\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n 2^n\right)$。
6. 因此，$\sum_{n=1}^{\infty} n a_n 2^{n-1} = \frac{d}{dx}\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n 2^n\right)$。
7. 由于 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_n 2^{n-1}$ 收敛，故 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n 2^n$ 是一个常数，设为 $C$。
8. 故 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n 2^n = C$。
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