2019年考研数学三真题讲解如下：
一、选择题
1. 本题考查极限的计算，通过洛必达法则，最终答案为$\frac{1}{2}$。
2. 本题考查二重积分的计算，利用极坐标变换，最终答案为$\frac{\pi}{4}$。
3. 本题考查函数的奇偶性，通过定义法判断，最终答案为奇函数。
4. 本题考查数列的收敛性，通过比值审敛法，最终答案为收敛。
5. 本题考查行列式的计算，通过行列展开法，最终答案为-1。
二、填空题
1. 本题考查二阶线性微分方程的通解，通过求解齐次方程和特解，最终答案为$y=C_1e^x+C_2xe^x$。
2. 本题考查定积分的计算，通过分部积分法，最终答案为$\frac{1}{2}x^2e^x$。
3. 本题考查矩阵的秩，通过初等行变换，最终答案为2。
4. 本题考查三重积分的计算，通过变换积分顺序，最终答案为$\frac{2}{3}$。
5. 本题考查级数的收敛性，通过比值审敛法，最终答案为收敛。
三、解答题
1. 本题考查函数的连续性，通过极限的计算，最终答案为连续。
2. 本题考查线性方程组的解法，通过克莱姆法则，最终答案为唯一解。
3. 本题考查级数的收敛性，通过比值审敛法，最终答案为收敛。
4. 本题考查二重积分的计算，通过极坐标变换，最终答案为$\frac{\pi}{4}$。
5. 本题考查常系数线性微分方程的通解，通过求解特征方程，最终答案为$y=C_1e^{2x}+C_2e^{-x}$。
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