2020年考研数学二真题试卷解析如下：
一、选择题（每题5分，共20分）
1. 设函数$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，则$f(x)$的导数为：
A. $\frac{-2x}{(x^2+1)^2}$
B. $\frac{2x}{(x^2+1)^2}$
C. $\frac{2}{(x^2+1)^2}$
D. $\frac{-2}{(x^2+1)^2}$
答案：A
2. 若$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$，则$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin 2x}{2x}=？$
A. 1
B. 2
C. 0
D. 不存在
答案：B
3. 设$a>0$，则函数$f(x)=\sqrt{ax^2+bx+c}$的图像是：
A. 双曲线
B. 抛物线
C. 直线
D. 圆
答案：B
4. 若$A$为$3\times 3$矩阵，$A^2=0$，则$A$的秩为：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
答案：A
5. 设$z=\sin(x+y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}=$？
A. $\cos(x+y)$
B. $\cos(x-y)$
C. $\cos(x+y)$
D. $\cos(x-y)$
答案：A
二、填空题（每题5分，共20分）
1. 若$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，则$f'(0)=？$
答案：$-1$
2. 设$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，则$f(-1)=？$
答案：-3
3. 设$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$，则$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin 2x}{2x}=？$
答案：2
4. 若$f(x)=\sqrt{ax^2+bx+c}$，$a>0$，则$f(x)$的图像是？
答案：抛物线
5. 设$A$为$3\times 3$矩阵，$A^2=0$，则$A$的秩为？
答案：1
三、解答题（共60分）
1. 解微分方程$\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{y^2}$。
答案：$y^2=\frac{2}{3}x^3+C$
2. 设$f(x)=\sqrt{x^2-2x+2}$，求$f'(x)$。
答案：$f'(x)=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+2}}$
3. 设$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，求$A^{-1}$。
答案：$A^{-1}=\begin{bmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}$
4. 设$z=\sin(x+y)$，求$\frac{\partial z}{\partial x}$和$\frac{\partial z}{\partial y}$。
答案：$\frac{\partial z}{\partial x}=\cos(x+y)$，$\frac{\partial z}{\partial y}=\cos(x+y)$
5. 求极限$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin 3x-\sin 2x}{x}$。
答案：3
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