在大学考研的道路上，数学题如同攀登高峰的阶梯，每一步都考验着我们的智慧和毅力。以下是一道典型的考研数学题，让我们一起挑战：
题目：已知函数 \( f(x) = e^{x^2} \)，求函数 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的导数。
解答过程：
首先，根据导数的定义，我们有：
\[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \]
将 \( f(x) = e^{x^2} \) 代入上式，得到：
\[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^{(x + \Delta x)^2} - e^{x^2}}{\Delta x} \]
接下来，为了简化计算，我们可以采用洛必达法则。首先对分子和分母同时求导，得到：
\[ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2x + 2\Delta x}{1} = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + 2\Delta x) \]
由于 \( \Delta x \to 0 \)，上式可以进一步简化为：
\[ f'(x) = 2x \]
将 \( x = 0 \) 代入 \( f'(x) \)，得到：
\[ f'(0) = 0 \]
所以，函数 \( f(x) = e^{x^2} \) 在 \( x = 0 \) 处的导数为 0。
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