在2021年考研数学中，一道典型的极限题目如下：
题目：求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x) - \sin(x)}{x^2}$。
解题过程：
首先，利用三角函数的和差化积公式，将分子中的 $\sin(3x) - \sin(x)$ 转化为 $2\cos\left(\frac{3x + x}{2}\right)\sin\left(\frac{3x - x}{2}\right)$，即 $2\cos(2x)\sin(x)$。
接着，根据极限的基本性质，我们可以将原极限表达式转化为：
$$\lim_{x \to 0} \frac{2\cos(2x)\sin(x)}{x^2}$$
由于当 $x \to 0$ 时，$\sin(x) \sim x$，所以原极限可以进一步简化为：
$$\lim_{x \to 0} \frac{2\cos(2x)x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\cos(2x)}{x}$$
此时，我们遇到了一个“$\frac{0}{0}$”型的不定式，可以使用洛必达法则求解。对分子和分母同时求导，得到：
$$\lim_{x \to 0} \frac{-4\sin(2x)}{1} = -4\sin(0) = 0$$
因此，原极限的值为 $0$。
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