线性代数在考研数学中占据重要地位，以下是一道典型的线性代数题目：
题目：设矩阵 \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
解答：首先，我们需要求出矩阵 \( A \) 的特征多项式，即求解方程 \( \det(A - \lambda I) = 0 \)，其中 \( I \) 是单位矩阵，\( \lambda \) 是特征值。
计算特征多项式：
\[
\det(A - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 3 & 4 - \lambda \end{pmatrix} = (1 - \lambda)(4 - \lambda) - 6 = \lambda^2 - 5\lambda - 2
\]
解特征多项式得到特征值：
\[
\lambda^2 - 5\lambda - 2 = 0 \Rightarrow \lambda_1 = -1, \lambda_2 = 6
\]
接下来，求对应的特征向量。对于 \( \lambda_1 = -1 \)，解方程组 \( (A + I)x = 0 \)：
\[
\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\]
得到特征向量 \( x_1 = 1, x_2 = -1 \)，即 \( \vec{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \)。
对于 \( \lambda_2 = 6 \)，解方程组 \( (A - 6I)x = 0 \)：
\[
\begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\]
得到特征向量 \( x_1 = 2, x_2 = 3 \)，即 \( \vec{v_2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \)。
综上，矩阵 \( A \) 的特征值为 \( -1 \) 和 \( 6 \)，对应的特征向量分别为 \( \vec{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \) 和 \( \vec{v_2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \)。
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