在2021年考研数学二中，第10题是一道颇具挑战性的题目。该题涉及线性代数中的矩阵运算与特征值问题。具体来说，它要求考生求解一个矩阵的特征值和特征向量，并进一步利用这些信息解决特定方程组的问题。
下面是该题目的一个可能解答：
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解题思路：
首先，我们需要找到给定矩阵的特征多项式。通过计算行列式\( \det(A - \lambda I) = 0 \)，我们可以求得特征值。然后，对于每个特征值，求解对应的特征向量。
解答步骤：
1. 求特征值：
给定矩阵\( A \)，计算特征多项式\( \det(A - \lambda I) = 0 \)，解出特征值\( \lambda \)。
2. 求特征向量：
对于每个特征值\( \lambda \)，求解线性方程组\( (A - \lambda I)x = 0 \)以找到对应的特征向量。
3. 利用特征向量：
通过特征向量的线性组合，构造出满足特定条件的向量。
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总结：
该题考查了考生对线性代数基本概念和方法的掌握程度，特别是矩阵的特征值和特征向量的计算。解决这类问题需要扎实的理论基础和一定的计算能力。
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