在考研数学的微积分部分，一道典型的题目如下：
题目：已知函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x \)，求该函数在区间 \([1, 3]\) 上的最大值和最小值。
解题思路：
1. 求导数：首先对函数 \( f(x) \) 求一阶导数，得到 \( f'(x) = 3x^2 - 6x + 4 \)。
2. 求临界点：令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = 1 \) 或 \( x = \frac{2}{3} \)。
3. 判断端点值：计算 \( f(1) \) 和 \( f(3) \) 的值。
4. 比较大小：比较 \( f(1) \)，\( f\left(\frac{2}{3}\right) \)，和 \( f(3) \) 的大小，确定最大值和最小值。
答案：通过计算和比较，可以得出在区间 \([1, 3]\) 上，函数 \( f(x) \) 的最大值为 \( f(3) = 14 \)，最小值为 \( f\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{27} \)。
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