2020年考研数学二真题第12题解析如下：
题目：设函数$f(x)=x^3-3x$，求$\int_0^1f(x)f''(x)dx$。
解析：
首先，计算$f''(x)$：
$$f'(x) = 3x^2 - 3,$$
$$f''(x) = 6x.$$
接着，代入题目中的积分表达式：
$$\int_0^1f(x)f''(x)dx = \int_0^1(x^3 - 3x)(6x)dx = \int_0^1(6x^4 - 18x^2)dx.$$
接下来，分别计算两个积分：
$$\int_0^1 6x^4 dx = 6\cdot \frac{x^5}{5}\bigg|_0^1 = \frac{6}{5},$$
$$\int_0^1 18x^2 dx = 18\cdot \frac{x^3}{3}\bigg|_0^1 = 6.$$
将两个结果相减：
$$\frac{6}{5} - 6 = -\frac{24}{5}.$$
所以，$\int_0^1f(x)f''(x)dx = -\frac{24}{5}$。
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