线性代数在考研数学中占据着举足轻重的地位，以下是一些核心公式：
1. 行列式计算公式：
- 二阶行列式：\( \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc \)
- 三阶行列式：\( \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \)
2. 矩阵运算公式：
- 矩阵加法：\( A + B = C \)，其中\( C \)为\( A \)与\( B \)对应元素相加得到的矩阵。
- 矩阵数乘：\( kA = [ka_{ij}] \)，其中\( k \)为实数，\( A \)为\( m \times n \)矩阵。
- 矩阵乘法：\( AB = C \)，其中\( C \)为\( A \)的列向量与\( B \)的行向量对应元素相乘后相加得到的矩阵。
3. 线性方程组解法：
- 高斯消元法：通过行变换将系数矩阵化为行阶梯形矩阵，进而求解方程组。
- 克莱姆法则：对于非齐次线性方程组，若系数矩阵的行列式不为零，则方程组有唯一解。
4. 特征值与特征向量：
- 特征值方程：\( \lambda E - A = 0 \)，其中\( E \)为单位矩阵，\( A \)为给定的矩阵。
- 特征向量：满足\( \lambda v = Av \)的向量\( v \)。
5. 矩阵的秩：
- 矩阵的秩等于其行阶梯形矩阵的秩。
- 矩阵的秩等于其列阶梯形矩阵的秩。
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