在考研征途上，数学分析无疑是关键一环。以下是精选的数学分析考研真题及答案解析，助你一臂之力：
1. 真题问题：证明函数$f(x) = x^3 - 3x$在区间$[0, 2]$上至少存在一点$c$，使得$f'(c) = 0$。
答案解析：运用罗尔定理。首先验证$f(x)$在$[0, 2]$上连续，在$(0, 2)$内可导，并且$f(0) = f(2) = 0$。根据罗尔定理，存在$c \in (0, 2)$，使得$f'(c) = 0$。
2. 真题问题：求极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x^2}$。
答案解析：利用洛必达法则。由于分子分母同时趋于0，可以求导，得到$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$。
3. 真题问题：设$f(x)$在$[0, 1]$上连续，在$(0, 1)$内可导，证明存在$\xi \in (0, 1)$，使得$f'(\xi) = f(\xi)$。
答案解析：构造辅助函数$F(x) = e^{-x}f(x)$，在$[0, 1]$上连续，在$(0, 1)$内可导，且$F(0) = F(1) = 0$。根据罗尔定理，存在$\xi \in (0, 1)$，使得$F'(\xi) = 0$，即$f'(\xi) = f(\xi)$。
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