题目：若函数 \( f(x) = \frac{x^3 - 6x^2 + 9x}{x^2 - 4} \) 在 \( x = 2 \) 处可导，求 \( f'(2) \)。
解答：
首先，我们需要对函数 \( f(x) \) 进行简化。由于 \( x^2 - 4 \) 可以分解为 \( (x-2)(x+2) \)，我们可以将 \( f(x) \) 重写为：
\[ f(x) = \frac{x^3 - 6x^2 + 9x}{(x-2)(x+2)} \]
接下来，我们使用多项式除法或长除法将 \( x^3 - 6x^2 + 9x \) 除以 \( x^2 - 4 \)。这样我们得到：
\[ f(x) = x - 4 + \frac{16}{x^2 - 4} \]
由于 \( f(x) \) 在 \( x = 2 \) 处可导，我们需要确保 \( \frac{16}{x^2 - 4} \) 在 \( x = 2 \) 处也是可导的。显然，当 \( x = 2 \) 时，分母为零，因此我们需要检查 \( x = 2 \) 处的导数。
对于 \( \frac{16}{x^2 - 4} \)，我们可以使用商的导数法则来求导：
\[ \left( \frac{16}{x^2 - 4} \right)' = \frac{0 \cdot (x^2 - 4) - 16 \cdot 2x}{(x^2 - 4)^2} = \frac{-32x}{(x^2 - 4)^2} \]
现在，我们将 \( x = 2 \) 代入上述导数表达式中：
\[ f'(2) = \left( \frac{-32x}{(x^2 - 4)^2} \right) \bigg|_{x=2} = \frac{-32 \cdot 2}{(2^2 - 4)^2} = \frac{-64}{0} \]
由于分母在 \( x = 2 \) 时为零，这表明 \( f(x) \) 在 \( x = 2 \) 处不可导。然而，题目假设 \( f(x) \) 在 \( x = 2 \) 处可导，这意味着我们需要重新检查 \( f(x) \) 的简化过程。
实际上，由于 \( x^2 - 4 \) 在 \( x = 2 \) 处为零，我们不能直接对 \( f(x) \) 进行简化。因此，我们需要使用洛必达法则或泰勒展开来处理 \( x = 2 \) 处的导数。
使用洛必达法则，我们有：
\[ \lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 6x^2 + 9x}{x^2 - 4} = \lim_{x \to 2} \frac{3x^2 - 12x + 9}{2x} = \lim_{x \to 2} \frac{3x^2 - 12x + 9}{2x} \]
将 \( x = 2 \) 代入：
\[ f'(2) = \frac{3 \cdot 2^2 - 12 \cdot 2 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{12 - 24 + 9}{4} = \frac{-3}{4} \]
因此，\( f'(2) = -\frac{3}{4} \)。
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