2011年考研数学第七题是一道典型的综合应用题，主要考察了线性代数、概率论与数理统计以及高等数学的综合运用。题目内容如下：
已知随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且随机变量Y与X相互独立，且Y服从参数为2λ的指数分布。求随机变量Z = X + Y的分布函数F_Z(z)。
解答过程如下：
1. 首先，根据泊松分布的定义，X的分布律为：
P(X=k) = \(\frac{λ^k}{k!}e^{-λ}\)，其中k=0,1,2,3,...。
2. 根据指数分布的定义，Y的分布函数为：
F_Y(y) = 1 - e^{-2λy}，其中y≥0。
3. 由于X与Y相互独立，Z的分布函数F_Z(z)可以表示为：
F_Z(z) = P(Z≤z) = P(X+Y≤z)。
4. 根据概率的加法原理，有：
P(X+Y≤z) = ∑_{k=0}^{z} P(X=k)P(Y≤z-k)。
5. 将X和Y的分布律代入上式，得：
F_Z(z) = ∑_{k=0}^{z} \(\frac{λ^k}{k!}e^{-λ}\) × (1 - e^{-2λ(z-k)})。
6. 对上式进行化简，得：
F_Z(z) = 1 - e^{-λ} × ∑_{k=0}^{z} \(\frac{(2λ)^k}{k!}\) × e^{-2λ(z-k)}。
7. 注意到求和项中的指数部分可以表示为e^{-2λz} × ∑_{k=0}^{z} \(\frac{(2λ)^k}{k!}\)，这是一个指数分布的生成函数。根据指数分布的生成函数，可得：
∑_{k=0}^{z} \(\frac{(2λ)^k}{k!}\) = e^{2λ} - e^{-2λ}。
8. 将上式代入F_Z(z)中，得：
F_Z(z) = 1 - e^{-λ} × (e^{2λ} - e^{-2λ}) × e^{-2λz}。
9. 化简上式，得：
F_Z(z) = 1 - (e^{λ} - e^{-λ}) × e^{-2λz}。
10. 最终，Z的分布函数F_Z(z)为：
F_Z(z) = 1 - (e^{λ} - e^{-λ}) × e^{-2λz}。
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