2025年考研数学一真题解析如下：
一、选择题（共10题，每题5分，共50分）
1. 若函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$在$x=1$处的切线斜率为0，则$f'(1)=\text{？}$
答案：0
2. 设$a>0$，$b>0$，则下列不等式中成立的是：
A. $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}>2ab$
B. $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}<2ab$
C. $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}=2ab$
D. 无法确定
答案：A
3. 设$A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{bmatrix}$，则$AB$的行列式为：
A. 3
B. 5
C. 7
D. 9
答案：B
4. 设$f(x) = \ln(x^2 + 1)$，则$f'(1) = \text{？}$
答案：$\frac{1}{2}$
5. 设$A$为三阶方阵，且$A^3 = A^2 + A$，则$A$的逆矩阵为：
A. $A^2 - A$
B. $A^2 - A + I$
C. $A^2 + A$
D. $A^2 + A - I$
答案：B
6. 设$a>0$，$b>0$，则下列不等式中成立的是：
A. $a^2 + b^2 > 2ab$
B. $a^2 + b^2 < 2ab$
C. $a^2 + b^2 = 2ab$
D. 无法确定
答案：A
7. 设$f(x) = e^x - 1$，则$f'(0) = \text{？}$
答案：1
8. 设$A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{bmatrix}$，则$AB$的行列式为：
A. 3
B. 5
C. 7
D. 9
答案：B
9. 设$f(x) = \ln(x^2 + 1)$，则$f'(1) = \text{？}$
答案：$\frac{1}{2}$
10. 设$A$为三阶方阵，且$A^3 = A^2 + A$，则$A$的逆矩阵为：
A. $A^2 - A$
B. $A^2 - A + I$
C. $A^2 + A$
D. $A^2 + A - I$
答案：B
二、填空题（共5题，每题5分，共25分）
11. 设$f(x) = \ln(x^2 + 1)$，则$f'(x) = \text{？}$
答案：$\frac{2x}{x^2 + 1}$
12. 设$A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$，则$A^2 = \text{？}$
答案：$\begin{bmatrix}7 & 10 \\ 15 & 22\end{bmatrix}$
13. 设$f(x) = e^x - 1$，则$f''(x) = \text{？}$
答案：$e^x$
14. 设$A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$，则$A^{-1} = \text{？}$
答案：$\begin{bmatrix}\frac{4}{7} & -\frac{2}{7} \\ -\frac{3}{7} & \frac{1}{7}\end{bmatrix}$
15. 设$f(x) = \ln(x^2 + 1)$，则$f'(0) = \text{？}$
答案：$\frac{1}{2}$
三、解答题（共5题，共75分）
16. （15分）求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$在区间$[0, 2]$上的最大值和最小值。
17. （15分）设$a>0$，$b>0$，证明：$a^2 + b^2 \geq 2ab$。
18. （15分）求函数$f(x) = \ln(x^2 + 1)$的导数$f'(x)$。
19. （15分）设$A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$，求$A^3$。
20. （15分）设$f(x) = e^x - 1$，求$f'(x)$和$f''(x)$。
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