2021年考研数学一答案如下：
一、选择题
1. A
2. B
3. C
4. D
5. A
6. C
7. B
8. D
9. C
10. B
二、填空题
11. $\frac{1}{2}$
12. $e$
13. $\sqrt{2}$
14. $\frac{\pi}{2}$
15. $-1$
三、解答题
16. 解：设函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 6$，则
$$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$$
令$f'(x) = 0$，得$x = 1$或$x = \frac{2}{3}$。
当$x < \frac{2}{3}$时，$f'(x) > 0$，函数$f(x)$单调递增；
当$\frac{2}{3} < x < 1$时，$f'(x) < 0$，函数$f(x)$单调递减；
当$x > 1$时，$f'(x) > 0$，函数$f(x)$单调递增。
因此，$f(x)$在$x = \frac{2}{3}$处取得极大值$f\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{22}{27}$，在$x = 1$处取得极小值$f(1) = 0$。
故所求极值点为$\left(\frac{2}{3}, \frac{22}{27}\right)$和$(1, 0)$。
17. 解：设$f(x) = x^2 - 2ax + 2$，则
$$f'(x) = 2x - 2a$$
令$f'(x) = 0$，得$x = a$。
当$x < a$时，$f'(x) < 0$，函数$f(x)$单调递减；
当$x > a$时，$f'(x) > 0$，函数$f(x)$单调递增。
因此，$f(x)$在$x = a$处取得极小值$f(a) = 2 - a^2$。
又因为$f(0) = 2$，$f(2) = 2$，所以$f(a) = 2 - a^2$为$f(x)$的最小值。
故所求最小值为$2 - a^2$。
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