在考研数学一中，难题往往涉及高阶数学概念和复杂的计算技巧。以下是一道典型的难题示例：
题目：设函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x \)，求在区间 \([1,2]\) 上使得 \( f(x) \) 取得最小值的 \( x \) 值，并计算该最小值。
解题思路：首先，通过求导找到函数的极值点，然后判断这些极值点是否在给定区间内。接着，比较区间端点处的函数值以及区间内的极值点处的函数值，确定最小值。
答案：求导得 \( f'(x) = 3x^2 - 6x + 4 \)。令 \( f'(x) = 0 \) 解得 \( x = 1 \) 或 \( x = \frac{2}{3} \)。由于 \( x = \frac{2}{3} \) 不在区间 \([1,2]\) 内，故只需比较 \( x = 1 \) 和端点 \( x = 2 \) 的函数值。计算得 \( f(1) = 2 \)，\( f(2) = 2 \)。因此，最小值为 2。
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