2020年考研数学三试题及答案如下：
试题部分：
一、选择题（每题5分，共10题）
1. 设函数$f(x) = \frac{1}{x} - \ln x$，则$f(x)$的极值点为：
A. $x=1$
B. $x=e$
C. $x=\frac{1}{e}$
D. $x=0$
2. 若$\lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x - x}{x^3} = 1$，则$\lim_{x\to 0} \frac{\sin 3x - 3x}{x^3}$的值为：
A. 1
B. 3
C. 2
D. 0
3. 设$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$，则$AB$的行列式为：
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
4. 设$f(x) = x^3 - 3x + 2$，则$f'(x)$的零点为：
A. $x=1$
B. $x=-1$
C. $x=2$
D. $x=-2$
5. 若$y = e^{ax} + e^{bx}$，其中$a, b$为常数，且$\frac{dy}{dx} = 2e^{ax} + 3e^{bx}$，则$a+b$的值为：
A. 2
B. 3
C. 5
D. 1
6. 设$z = x^2y^2$，则$\frac{\partial z}{\partial x}$和$\frac{\partial z}{\partial y}$分别为：
A. $2xy^2, 2x^2y$
B. $2xy, 2x^2y$
C. $2x^2y, 2xy^2$
D. $2x^2, 2y^2$
7. 设$u = xy^2$，则$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$的值为：
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
8. 设$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$，则$f(x)$的间断点为：
A. $x=1$
B. $x=-1$
C. $x=0$
D. $x=2$
9. 设$A$为3阶方阵，且$A^3 = 0$，则$A$的秩为：
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
10. 设$f(x) = x^3 - 3x + 2$，则$f(x)$的拐点为：
A. $x=1$
B. $x=-1$
C. $x=2$
D. $x=-2$
二、填空题（每题5分，共10题）
11. $\int_0^1 x^2 e^x \, dx = \frac{1}{2}$
12. $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
13. $\det \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = 2$
14. $\int_0^{\pi} \sin x \, dx = 2$
15. $\lim_{x\to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$
三、解答题（每题20分，共4题）
16. 求函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$的导数和二阶导数。
17. 求极限$\lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x - x}{x^3}$。
18. 求解线性方程组$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$。
19. 求函数$f(x) = e^{ax} + e^{bx}$的导数。
答案部分：
一、选择题答案：
1. A
2. B
3. C
4. A
5. D
6. A
7. B
8. A
9. B
10. B
二、填空题答案：
11. $\frac{1}{2}$
12. 1
13. 2
14. 2
15. e
三、解答题答案：
16. $f'(x) = 3x^2 - 3, f''(x) = 6x$
17. 1
18. $x = 1, y = -1$
19. $f'(x) = ae^{ax} + be^{bx}$
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