考研数学一真题及解答如下：
【真题】
1. 设函数 \( f(x) = e^{x^2} \)，求 \( f'(x) \)。
2. 已知 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，求 \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x^2} \)。
3. 解微分方程 \( y'' - 2y' + 2y = 0 \)。
【解答】
1. 函数 \( f(x) = e^{x^2} \) 的导数 \( f'(x) = 2xe^{x^2} \)。
2. 由于 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，我们可以将 \( \tan x \) 写成 \( \frac{\sin x}{\cos x} \)，因此：
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} = 1 \]
3. 微分方程 \( y'' - 2y' + 2y = 0 \) 的特征方程为 \( r^2 - 2r + 2 = 0 \)，解得 \( r = 1 \pm i \)。因此，通解为 \( y = e^x(C_1 \cos x + C_2 \sin x) \)。
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