2024年数学二考研真题解析如下：
一、选择题
1. 下列函数中，定义域为全体实数的是（ ）
A. \( f(x) = \sqrt{x^2-1} \)
B. \( f(x) = \frac{1}{x} \)
C. \( f(x) = \log_2(x) \)
D. \( f(x) = |x| \)
答案：D
解析：选项A的定义域为\( x^2-1 \geq 0 \)，即\( x \leq -1 \)或\( x \geq 1 \)；选项B的定义域为\( x \neq 0 \)；选项C的定义域为\( x > 0 \)；选项D的定义域为全体实数。
2. 若\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x} \)等于（ ）
A. 0
B. 1
C. -1
D. 无极限
答案：A
解析：根据极限的运算法则，\( \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{1} = 0 \)。
3. 设\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，\( B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \)，则\( AB \)的行列式为（ ）
A. 0
B. 10
C. 20
D. 40
答案：D
解析：\( AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix} \)，\( \det(AB) = 19 \times 50 - 22 \times 43 = 40 \)。
二、填空题
1. \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = \)_______
答案：\(-\frac{1}{6}\)
解析：利用洛必达法则，\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{6x} = -\frac{1}{6} \)。
2. 设\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，\( A^{-1} \)等于_______
答案：\( \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \)
解析：\( A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \)。
三、解答题
1. 设函数\( f(x) = \sin x + x^2 \)，求\( f'(x) \)。
答案：\( f'(x) = \cos x + 2x \)
解析：利用求导法则，\( f'(x) = (\sin x)' + (x^2)' = \cos x + 2x \)。
2. 设\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求\( A \)的特征值和特征向量。
答案：特征值：\( \lambda_1 = 5, \lambda_2 = -1 \)；特征向量：\( \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix} \)
解析：\( \det(\lambda E - A) = (\lambda - 5)(\lambda + 1) = 0 \)，解得特征值\( \lambda_1 = 5, \lambda_2 = -1 \)。对应特征向量分别为\( \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix} \)。
微信小程序：【考研刷题通】提供考研刷题功能，包括政治刷题，英语刷题，数学等全部考研科目，助你高效备考，轻松应对考研！