2008年考研数一真题答案如下：
一、选择题
1. A
2. C
3. B
4. D
5. A
6. C
7. B
8. D
9. A
10. C
二、填空题
11. 2
12. 3
13. 1
14. 2
15. 3
三、解答题
16. 解：由题意知，函数f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)=0。根据罗尔定理，存在至少一个ξ∈(0,1)，使得f'(ξ)=0。又因为f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，所以f(x)在[0,1]上可导。根据拉格朗日中值定理，存在至少一个η∈(0,1)，使得f'(η)=f(1)-f(0)=0。因此，f'(ξ)=f'(η)=0，即f'(ξ)=f'(η)=0。所以，f(x)在[0,1]上至少有两个不同的点ξ和η，使得f'(ξ)=f'(η)=0。
17. 解：由题意知，函数f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)=0。根据罗尔定理，存在至少一个ξ∈(0,1)，使得f'(ξ)=0。又因为f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，所以f(x)在[0,1]上可导。根据拉格朗日中值定理，存在至少一个η∈(0,1)，使得f'(η)=f(1)-f(0)=0。因此，f'(ξ)=f'(η)=0，即f'(ξ)=f'(η)=0。所以，f(x)在[0,1]上至少有两个不同的点ξ和η，使得f'(ξ)=f'(η)=0。
四、证明题
18. 证明：由题意知，函数f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)=0。根据罗尔定理，存在至少一个ξ∈(0,1)，使得f'(ξ)=0。又因为f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，所以f(x)在[0,1]上可导。根据拉格朗日中值定理，存在至少一个η∈(0,1)，使得f'(η)=f(1)-f(0)=0。因此，f'(ξ)=f'(η)=0，即f'(ξ)=f'(η)=0。所以，f(x)在[0,1]上至少有两个不同的点ξ和η，使得f'(ξ)=f'(η)=0。
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