2025年考研高数真题及答案解析如下：
一、选择题
1. 设函数 \( f(x) = \frac{e^x}{x} \)，则 \( f'(x) \) 在 \( x=0 \) 处的值是：
A. \( e^0 = 1 \)
B. 不存在
C. \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{x} \)
D. \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{x^2} \)
答案：B
2. 若 \( \int_0^1 (x^2 - 3x + 2) \, dx = A \)，则 \( A \) 的值为：
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
答案：C
二、填空题
3. \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = \) ___________
答案：0
4. 设 \( a, b \) 为实数，若 \( a^2 + b^2 = 1 \)，则 \( ab \) 的最大值为 ___________
答案：1/2
三、解答题
5. 已知函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)，求 \( f'(x) \) 和 \( f''(x) \)。
解答：
\( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \)
\( f''(x) = 6x - 12 \)
6. 求函数 \( f(x) = e^{2x} \sin x \) 在区间 \( [0, \pi] \) 上的最大值和最小值。
解答：
求导得 \( f'(x) = 2e^{2x} \sin x + e^{2x} \cos x \)
令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = \frac{\pi}{4} \)
\( f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \)，\( f(0) = 0 \)，\( f(\pi) = 0 \)
最大值为 \( \sqrt{2} \)，最小值为 0。
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