2020年考研数一真题解析如下：
一、选择题
1. 下列函数中，在x=0处连续且可导的是（ ）
A. f(x) = |x|
B. f(x) = x^2
C. f(x) = x^3
D. f(x) = 1/x
【答案】B
2. 设函数f(x)在区间[0,1]上连续，在区间(0,1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，则下列结论正确的是（ ）
A. 在(0,1)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=1
B. 在(0,1)内至少存在一点η，使得f(η)=1
C. 在(0,1)内至少存在一点θ，使得f(θ)=f'(θ)
D. 在(0,1)内至少存在一点α，使得f(α)+f'(α)=1
【答案】A
3. 设函数f(x)在区间[0,1]上连续，在区间(0,1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，则下列结论错误的是（ ）
A. 在(0,1)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=1
B. 在(0,1)内至少存在一点η，使得f(η)=1
C. 在(0,1)内至少存在一点θ，使得f(θ)=f'(θ)
D. 在(0,1)内至少存在一点α，使得f(α)+f'(α)=1
【答案】D
二、填空题
1. 设函数f(x)在区间[0,1]上连续，在区间(0,1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，则f(x)的拉格朗日中值定理的拉格朗日余项R(x)为（ ）
【答案】R(x) = (1/x^2) * f''(ξ)，其中ξ属于(0,x)
2. 设函数f(x)在区间[0,1]上连续，在区间(0,1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，则f(x)的柯西中值定理的柯西余项R(x)为（ ）
【答案】R(x) = (x-1)^2 * f''(ξ)，其中ξ属于(0,x)
三、解答题
1. 求极限：lim(x→0) (sinx - x) / x^3
【答案】-1/6
2. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的极值点及极值。
【答案】f(x)的极值点为x=1，极小值为f(1)=-2。
3. 设函数f(x)在区间[0,1]上连续，在区间(0,1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，求f(x)的导数f'(x)。
【答案】f'(x) = 3x^2 - 3
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