1. 设函数$f(x) = \frac{1}{1+x^2}$，证明：对于任意$x \in \mathbb{R}$，有$f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = 1$。
2. 证明：对于任意正整数$n$，都有$1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。
3. 设$A$，$B$为两个$n$阶方阵，证明：如果$AB = BA$，则$A$和$B$的迹相等。
4. 证明：若$f(x)$在区间$[a, b]$上连续，在$(a, b)$内可导，且$f'(a) = f'(b)$，则存在$\xi \in (a, b)$，使得$f'(\xi) = 0$。
5. 设$S_n$为正整数$n$的平方和，证明：对于任意$n \geq 2$，都有$S_n \geq 2^n - 2$。
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