备战考研，数学模拟题是检验复习成果的绝佳利器。以下是对几道典型考研数学模拟题的深入解析：
1. 线性代数题：设矩阵 \(A\) 为 \(3 \times 3\) 的实对称矩阵，若 \(A\) 的特征值分别为 \(2, 3, 5\)，求 \(A^2\) 的特征值。
解析：由于 \(A\) 是实对称矩阵，其特征值均大于0。根据特征值的性质，\(A^2\) 的特征值为原特征值的平方，即 \(4, 9, 25\)。
2. 概率论题：某事件 \(A\) 的概率为 \(0.4\)，求 \(A\) 至少发生一次的概率。
解析：事件 \(A\) 至少发生一次的概率等于 \(1\) 减去 \(A\) 不发生的概率，即 \(1 - 0.4 = 0.6\)。
3. 高等数学题：计算定积分 \(\int_0^{\pi} x \sin x \, dx\)。
解析：使用分部积分法，设 \(u = x\)，\(dv = \sin x \, dx\)，则 \(du = dx\)，\(v = -\cos x\)。根据分部积分公式，得 \(\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx = -x \cos x + \sin x + C\)。将上下限代入，得 \(\left[-x \cos x + \sin x\right]_0^{\pi} = -\pi \cdot (-1) + 0 - (0 \cdot 1 + 0) = \pi\)。
4. 复变函数题：求复变函数 \(f(z) = z^2 - 1\) 在 \(z = 1\) 处的留数。
解析：\(f(z)\) 在 \(z = 1\) 处的留数等于 \(f(z)\) 在 \(z = 1\) 处的导数值。先求 \(f(z)\) 的导数 \(f'(z) = 2z\)，再求 \(f'(1) = 2\)，即 \(f(z)\) 在 \(z = 1\) 处的留数为 \(2\)。
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