2011年考研数学二第19题是一道典型的综合题，涉及了多元函数微分学的应用。题目内容如下：
已知函数 \( f(x, y) = e^{x+y} \)，求在点 \( (1, 2) \) 处沿方向 \( \mathbf{u} = (1, -1) \) 的方向导数。
解题步骤如下：
1. 计算函数 \( f(x, y) \) 在点 \( (1, 2) \) 处的偏导数 \( f_x' \) 和 \( f_y' \)。
2. 计算方向向量 \( \mathbf{u} \) 的单位向量 \( \mathbf{u}_0 \)。
3. 利用方向导数的定义，计算 \( f \) 在点 \( (1, 2) \) 处沿 \( \mathbf{u} \) 的方向导数。
具体计算过程如下：
1. \( f_x' = \frac{\partial}{\partial x} e^{x+y} = e^{x+y} \)，\( f_y' = \frac{\partial}{\partial y} e^{x+y} = e^{x+y} \)。
2. \( \mathbf{u}_0 = \frac{\mathbf{u}}{|\mathbf{u}|} = \frac{(1, -1)}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{(1, -1)}{\sqrt{2}} \)。
3. 方向导数 \( D_{\mathbf{u}}f(1, 2) = f_x'(1, 2) \cdot \mathbf{u}_0 \cdot \cos \theta + f_y'(1, 2) \cdot \mathbf{u}_0 \cdot \sin \theta \)，其中 \( \theta \) 是 \( \mathbf{u} \) 与 \( \mathbf{i} \) 轴的夹角。
由于 \( \mathbf{u} \) 与 \( \mathbf{i} \) 轴的夹角为 \( \frac{\pi}{4} \)，则 \( \cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2} \)，\( \sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2} \)。
代入计算得：
\( D_{\mathbf{u}}f(1, 2) = e^{1+2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + e^{1+2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = e^3 \)。
所以，2011年考研数学二第19题的答案是 \( e^3 \)。
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