在考研数学中，积分求质量问题是一个重要的应用题类型。这类问题通常要求考生运用定积分的知识，将几何或物理问题中的质量分布转化为数学表达式，进而通过积分计算总质量。
例如，一个均匀密度为ρ的物体，形状为圆盘，其半径为R，质量分布均匀，现要求计算这个物体的总质量。
解答步骤如下：
1. 确定密度函数：首先，根据题目信息，确定物体的密度函数ρ(r)。在这个例子中，由于密度是均匀的，我们可以得出ρ(r) = 常数。
2. 建立积分表达式：接下来，根据物体的几何形状，建立积分表达式。对于一个圆形物体，我们可以将其质量M表示为对半径r从0到R的积分，即：
M = ∫[0, R] ρ(r) * 2πr dr
3. 求解定积分：将密度函数代入积分表达式中，进行定积分的计算。由于ρ(r)是常数，可以提到积分符号外：
M = 2πρ ∫[0, R] r dr
计算积分：
M = 2πρ * [r^2 / 2]_0^R
M = 2πρ * (R^2 / 2)
M = πρR^2
4. 得出结论：最终得出物体的总质量为πρR^2。
这样，我们就成功地使用定积分解决了积分求质量的问题。
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