【解答】本题考查一元函数的不定积分。首先，观察被积函数，可发现其为基本初等函数的乘积，因此可以直接应用分部积分法。设$u=\sin x$，$dv=x^2dx$，则$du=\cos xdx$，$v=\frac{x^3}{3}$。根据分部积分法，有：
$$
\int \sin x \cdot x^2dx = \frac{x^3}{3}\sin x - \int \frac{x^3}{3}\cos xdx
$$
接下来，对$\int \frac{x^3}{3}\cos xdx$再次应用分部积分法，设$u=\frac{x^3}{3}$，$dv=\cos xdx$，则$du=x^2dx$，$v=\sin x$。得到：
$$
\int \frac{x^3}{3}\cos xdx = \frac{x^3}{3}\sin x - \int x^2\sin xdx
$$
将上述结果代入原式，得到：
$$
\int \sin x \cdot x^2dx = \frac{x^3}{3}\sin x - \left(\frac{x^3}{3}\sin x - \int x^2\sin xdx\right)
$$
化简后得：
$$
\int \sin x \cdot x^2dx = \int x^2\sin xdx
$$
根据三角函数的积分公式，$\int x^2\sin xdx = -x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C$，其中$C$为积分常数。因此，本题的答案为：
$$
\int \sin x \cdot x^2dx = -x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C
$$
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