2023年考研数学一试题真题解析如下：
一、选择题
1. 下列函数中，在x=0处连续的是（ ）
A. f(x) = |x| B. f(x) = x^2 C. f(x) = sin(x) D. f(x) = e^x
解析：选项A在x=0处不连续，因为左极限和右极限不相等。选项B在x=0处连续，因为左极限、右极限和函数值都相等。选项C在x=0处连续，因为左极限、右极限和函数值都相等。选项D在x=0处连续，因为左极限、右极限和函数值都相等。因此，正确答案是B。
2. 设函数f(x) = x^3 - 3x + 2，则f'(x) = （ ）
A. 3x^2 - 3 B. 3x^2 - 2 C. 3x^2 + 2 D. 3x^2 + 3
解析：根据导数的定义，f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h。代入f(x) = x^3 - 3x + 2，得到f'(x) = 3x^2 - 3。因此，正确答案是A。
3. 设函数f(x) = x^2 + 2x + 1，则f(-1) = （ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
解析：将x=-1代入f(x) = x^2 + 2x + 1，得到f(-1) = (-1)^2 + 2*(-1) + 1 = 0。因此，正确答案是A。
二、填空题
1. 设函数f(x) = 2x - 3，则f'(x) = （ ）
解析：根据导数的定义，f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h。代入f(x) = 2x - 3，得到f'(x) = 2。
2. 设函数f(x) = e^x，则f'(x) = （ ）
解析：根据导数的定义，f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h。代入f(x) = e^x，得到f'(x) = e^x。
三、解答题
1. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的极值。
解析：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 3。令f'(x) = 0，得到x = ±1。当x < -1或x > 1时，f'(x) > 0；当-1 < x < 1时，f'(x) < 0。因此，f(x)在x = -1处取得极大值f(-1) = 0，在x = 1处取得极小值f(1) = 0。
2. 求函数f(x) = x^2 + 2x + 1的定积分。
解析：f(x) = x^2 + 2x + 1是一个二次函数，其图像是一个开口向上的抛物线。定积分表示的是曲线与x轴围成的面积。因此，f(x)的定积分可以表示为S = ∫[a, b] f(x) dx，其中a和b是积分区间。由于f(x)的图像是一个完整的抛物线，积分区间为[-1, 1]，所以S = ∫[-1, 1] (x^2 + 2x + 1) dx = [x^3/3 + x^2 + x] |[-1, 1] = (1/3 + 1 + 1) - (-1/3 + 1 - 1) = 4/3。
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