考研数学二2021真题解析如下：
一、选择题（每题5分，共20分）
1. 设函数$f(x) = \frac{1}{1+x^2}$，则$f'(0)$的值是（ ）
A. 1 B. -1 C. 0 D. 不存在
答案：A
2. 下列函数中，连续且可导的是（ ）
A. $y = |x|$ B. $y = x^2$ C. $y = \sqrt{x}$ D. $y = \frac{1}{x}$
答案：C
3. 设$A$为$3 \times 3$矩阵，$A^2 = 0$，则$A$的秩$r(A)$至少为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
答案：A
4. 下列级数中，收敛的是（ ）
A. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ B. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ C. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2+1}$ D. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$
答案：A
5. 设$z = x^2 + y^2$，则$\frac{\partial z}{\partial x}$和$\frac{\partial z}{\partial y}$的值分别是（ ）
A. 2x, 2y B. 2x, 0 C. 0, 2y D. 0, 0
答案：A
二、填空题（每题5分，共20分）
6. 函数$f(x) = e^x \sin x$的导数$f'(x)$为________。
答案：$e^x(\sin x + \cos x)$
7. 矩阵$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$的行列式值为________。
答案：-2
8. 级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}$的和为________。
答案：$\frac{\pi^2}{6}$
9. 曲线$y = x^3$在点$(1,1)$处的切线方程为________。
答案：$y = 3x - 2$
10. 函数$z = x^2 + y^2$在点$(0,0)$处的全微分$\mathrm{d}z$为________。
答案：$2x\mathrm{d}x + 2y\mathrm{d}y$
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