2025年考研数学三真题试卷解析如下：
一、选择题
1. 设函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$，则$f(x)$的零点个数是：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
答案：B
2. 下列矩阵中，可逆矩阵是：
A. $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
D. $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^T$
答案：D
3. 设$A$是一个$n$阶实对称矩阵，且$A^2 = -A$，则$A$的特征值可能是：
A. 1
B. -1
C. 0
D. 2
答案：B
二、填空题
4. 若$f(x) = x^2 - 4x + 3$，则$f(x)$的导数$f'(x) = \boxed{2x - 4}$。
5. 矩阵$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$的行列式为$\boxed{2}$。
三、解答题
6. 解微分方程$\frac{dy}{dx} = 2xy^2$。
解：令$y = u^2$，则$\frac{dy}{dx} = 2u\frac{du}{dx}$，代入原方程得$2u\frac{du}{dx} = 2x(u^2)^2$，化简得$\frac{du}{dx} = xu^4$，分离变量得$\frac{1}{u^4}du = xdx$，积分得$-\frac{1}{3u^3} = \frac{x^2}{2} + C$，解得$y = u^2 = \left(-\frac{3}{x^2 + 6C}\right)^{\frac{1}{3}}$。
7. 计算二重积分$\iint_D (x^2 + y^2) dA$，其中$D$是由曲线$y = x^2$和直线$y = 1$围成的区域。
解：画出区域$D$，并确定积分限为$x$从$-1$到$1$，$y$从$x^2$到$1$。则积分表达式为$\int_{-1}^1 \int_{x^2}^1 (x^2 + y^2) dydx$。计算内层积分得$\int_{x^2}^1 (x^2 + y^2) dy = \left[ x^2y + \frac{y^3}{3} \right]_{x^2}^1 = x^2 + \frac{1}{3} - x^4$，再计算外层积分得$\int_{-1}^1 (x^2 + \frac{1}{3} - x^4) dx = \frac{2}{3} + \frac{2}{15} = \frac{8}{15}$。
【考研刷题通】小程序，助你高效备战考研，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目刷题，随时随地，轻松备考！立即体验，开启你的考研之旅！微信小程序搜索：【考研刷题通】。