题目：设函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \)，求 \( f(x) \) 在区间 \([1, 2]\) 上的最大值和最小值。
解答过程：
1. 首先求出函数 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) \)。
\[ f'(x) = 3x^2 - 6x \]
2. 然后令 \( f'(x) = 0 \)，解得驻点 \( x \) 的值。
\[ 3x^2 - 6x = 0 \]
\[ 3x(x - 2) = 0 \]
\[ x = 0 \text{ 或 } x = 2 \]
3. 检查区间 \([1, 2]\) 内的驻点，发现 \( x = 2 \) 在区间内。
4. 计算驻点 \( x = 2 \) 处的函数值 \( f(2) \)。
\[ f(2) = 2^3 - 3 \times 2^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0 \]
5. 由于 \( f'(x) \) 在 \( x = 1 \) 时为正，在 \( x = 2 \) 时为负，可以得出 \( x = 2 \) 是极大值点。
6. 检查区间端点 \( x = 1 \) 和 \( x = 2 \) 处的函数值，计算得：
\[ f(1) = 1^3 - 3 \times 1^2 + 4 = 1 - 3 + 4 = 2 \]
7. 综上，函数 \( f(x) \) 在区间 \([1, 2]\) 上的最大值为 \( f(1) = 2 \)，最小值为 \( f(2) = 0 \)。
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