在追求考研数学高分的过程中，高等数学无疑是一块必须征服的阵地。以下是一道典型的高等数学题目，旨在考察你的极限处理和函数性质分析能力：
题目：
设函数 \( f(x) = \frac{\sin x}{x} \) 在 \( x = 0 \) 处可导，求 \( f'(0) \) 的值。
解答思路：
首先，利用极限定义求导数的直接方法。根据导数的定义：
\[ f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} \]
由于 \( f(0) = \frac{\sin 0}{0} \) 是不定式，需要用洛必达法则或等价无穷小替换等方法来解决。
解答步骤：
1. 计算分子和分母的极限，即 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)。
2. 应用洛必达法则，因为分子和分母同时趋向于0。
3. 计算导数后的极限。
答案：
\[ f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - \sin x}{x^2} \]
由于 \( \cos 0 = 1 \) 且 \( \sin 0 = 0 \)，继续化简得：
\[ f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2x} \]
再次应用洛必达法则：
\[ f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{2} = -\frac{1}{2} \]
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