考研数学21题讲解：
在本次考研数学中，第21题是一道典型的综合应用题，主要考察了考生对高等数学、线性代数和概率论的综合运用能力。题目如下：
已知矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
解答思路：
1. 首先求出矩阵 \( A \) 的特征多项式 \( f(\lambda) \)。
2. 解特征多项式 \( f(\lambda) = 0 \)，求出特征值 \( \lambda \)。
3. 对每个特征值 \( \lambda \)，求出对应的特征向量。
具体步骤：
1. 特征多项式 \( f(\lambda) = \det(A - \lambda I) = \det \begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & 4-\lambda \end{bmatrix} \)。
2. 计算得 \( f(\lambda) = (1-\lambda)(4-\lambda) - 6 = \lambda^2 - 5\lambda - 2 \)。
3. 解方程 \( \lambda^2 - 5\lambda - 2 = 0 \)，得到特征值 \( \lambda_1 = 2 \) 和 \( \lambda_2 = -1 \)。
4. 对 \( \lambda_1 = 2 \)，解方程组 \( (A - 2I)x = 0 \) 得到特征向量 \( x_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
5. 对 \( \lambda_2 = -1 \)，解方程组 \( (A + I)x = 0 \) 得到特征向量 \( x_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \)。
这样，我们就求出了矩阵 \( A \) 的所有特征值和对应的特征向量。
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