在2010年考研数学二真题中，第四题是一道典型的线性代数问题。题目内容如下：
设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
解答过程如下：
首先，计算矩阵 \( A \) 的特征多项式 \( \det(A - \lambda I) \)，其中 \( I \) 是单位矩阵，\( \lambda \) 是特征值。
\[ A - \lambda I = \begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 & 3 \\ 4 & 5-\lambda & 6 \\ 7 & 8 & 9-\lambda \end{bmatrix} \]
展开行列式，得到特征多项式：
\[ \det(A - \lambda I) = (1-\lambda)[(5-\lambda)(9-\lambda) - 48] - 2[4(9-\lambda) - 28] + 3[4(5-\lambda) - 28] \]
\[ = (1-\lambda)(\lambda^2 - 14\lambda + 17) - 2(\lambda^2 - 26\lambda + 52) + 3(\lambda^2 - 26\lambda + 52) \]
\[ = \lambda^3 - 15\lambda^2 + 65\lambda - 153 \]
令特征多项式等于零，解得特征值：
\[ \lambda_1 = 3, \lambda_2 = 5, \lambda_3 = 7 \]
接下来，求对应的特征向量。对于每个特征值，解方程组 \( (A - \lambda_i I)x = 0 \)。
对于 \( \lambda_1 = 3 \)：
\[ \begin{bmatrix} -2 & 2 & 3 \\ 4 & 2 & 6 \\ 7 & 8 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
解得特征向量 \( x_1 = 1, x_2 = -1, x_3 = 1 \)。
对于 \( \lambda_2 = 5 \)：
\[ \begin{bmatrix} -4 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\ 7 & 8 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
解得特征向量 \( x_1 = 1, x_2 = -1, x_3 = 2 \)。
对于 \( \lambda_3 = 7 \)：
\[ \begin{bmatrix} -6 & 2 & 3 \\ 4 & -2 & 6 \\ 7 & 8 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
解得特征向量 \( x_1 = 1, x_2 = -1, x_3 = 3 \)。
综上所述，矩阵 \( A \) 的特征值为 \( 3, 5, 7 \)，对应的特征向量分别为 \( (1, -1, 1), (1, -1, 2), (1, -1, 3) \)。
【考研刷题通】小程序，助你轻松掌握考研数学二各类题型，包括线性代数、概率论与数理统计等，让你在考研路上更加自信！快来体验吧！