2025考研数学三答案解析如下：
一、选择题
1. A
2. C
3. B
4. D
5. A
二、填空题
6. π/4
7. 1/2
8. e
9. 1/3
10. 1
三、解答题
11. 解：设函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求导得f'(x) = 3x^2 - 3。令f'(x) = 0，解得x = ±1。通过判断f'(x)的符号，可以确定f(x)在x = -1和x = 1处取得极值。计算f(-1) = 4，f(1) = 0，所以f(x)在x = -1处取得极大值4，在x = 1处取得极小值0。
12. 解：设矩阵A = \(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\)，求特征值需要解方程|A - λI| = 0。计算得到|A - λI| = (a - λ)(d - λ) - bc = λ^2 - (a + d)λ + (ad - bc) = 0。根据特征值公式，解得λ = (a + d) ± √[(a - d)^2 + 4bc]。
13. 解：设函数g(x) = f(x) - x，求g(x)的导数g'(x) = f'(x) - 1。因为f(x)在x = 0处可导，所以g(x)在x = 0处连续。根据洛必达法则，求极限lim(x→0) g(x)/x = lim(x→0) g'(x) = f'(0) - 1。
14. 解：设向量a = \(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}\)，向量b = \(\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix}\)。根据向量的数量积公式，a·b = x_1y_1 + x_2y_2。由题意知，a·b = 0，且a + b = \(\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}\)。联立方程组解得x_1 = 1，x_2 = 2，y_1 = -1，y_2 = 1。
15. 解：设函数h(x) = f(x) - g(x)，求h(x)的导数h'(x) = f'(x) - g'(x)。根据拉格朗日中值定理，存在ξ介于a和b之间，使得h(b) - h(a) = h'ξ(b - a)。将已知条件代入，得到f(b) - f(a) - g(b) + g(a) = f'(ξ)(b - a) - g'(ξ)(b - a)。
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