在考研数学的复习中，中值定理是重中之重。以下是一组精心设计的模拟题，旨在帮助考生深入理解和掌握中值定理的应用：
1. 导数与极限问题：已知函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x \)，求证：在区间 \( [1, 2] \) 上存在一点 \( \xi \)，使得 \( f'(\xi) = 2 \)。
2. 罗尔定理应用：函数 \( f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 \) 在区间 \( [0, 1] \) 上连续，在 \( (0, 1) \) 内可导，且 \( f(0) = f(1) \)。证明：存在 \( \eta \in (0, 1) \)，使得 \( f'(\eta) = 0 \)。
3. 拉格朗日中值定理：若函数 \( g(x) = e^{2x} - 2x \) 在区间 \( [0, 1] \) 上连续，在 \( (0, 1) \) 内可导，求证：存在 \( \lambda \in (0, 1) \)，使得 \( g'(\lambda) = 2g(\lambda) \)。
4. 柯西中值定理：已知函数 \( h(x) = \ln(x+1) \) 和 \( p(x) = x^2 \) 在区间 \( [1, 3] \) 上连续，在 \( (1, 3) \) 内可导，求证：存在 \( \mu \in (1, 3) \)，使得 \( \frac{h'(\mu)}{p'(\mu)} = \frac{h(3) - h(1)}{p(3) - p(1)} \)。
5. 隐函数求导：设 \( F(x, y) = x^3y - y^3x + 6xy - 9 = 0 \)，求 \( \frac{dy}{dx} \) 在点 \( (1, 1) \) 处的值。
通过这些模拟题，考生可以巩固中值定理的基本概念，提高解题技巧。备考过程中，别忘了利用【考研刷题通】小程序，那里有丰富的题库和详细的解析，助你轻松备战考研。立即扫码加入，开启高效刷题之旅！
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