考研数学二卷真题及答案如下：
真题部分：
1. 设函数 \( f(x) = e^x \sin x \)，求 \( f(x) \) 的极值点。
2. 已知矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求 \( A \) 的特征值和特征向量。
3. 计算定积分 \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x \, dx \)。
4. 设 \( f(x) \) 在区间 \([0,1]\) 上连续，且 \( f(0) = 0 \)，\( f(1) = 1 \)，证明存在 \( \xi \in (0,1) \) 使得 \( f'(\xi) = \frac{1}{2} \)。
5. 设 \( f(x) \) 是定义在 \((0,+\infty)\) 上的幂函数，且 \( f(x) \) 在 \( x=1 \) 处取得极大值，求 \( f(x) \) 的表达式。
答案部分：
1. 极值点为 \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \)，其中 \( k \) 为整数。
2. 特征值为 \( \lambda_1 = 5, \lambda_2 = -1 \)，对应的特征向量分别为 \( \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \) 和 \( \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
3. 定积分结果为 \( \frac{\pi^2}{4} \)。
4. 根据罗尔定理，存在 \( \xi \in (0,1) \) 使得 \( f'(\xi) = \frac{1}{2} \)。
5. \( f(x) = x^{\alpha} \)，其中 \( \alpha = \frac{1}{2} \)。
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