2019年考研数学二第19题是一道关于多元函数微分学的题目。题目给出一个二元函数，要求求出函数在某点的偏导数以及全微分。解题过程如下：
首先，根据题目条件，设函数为 $f(x, y)$，其中 $x = \frac{1}{2}(t + 1)$，$y = t^2$。将 $x$ 和 $y$ 代入函数中，得到 $f(x, y) = \frac{1}{2}(t + 1)^3 - t^2$。
接着，求偏导数。对 $x$ 求偏导得 $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{3}{2}(t + 1)^2$，对 $y$ 求偏导得 $\frac{\partial f}{\partial y} = -2t$。
然后，求全微分。由全微分公式 $\mathrm{d}f = \frac{\partial f}{\partial x} \mathrm{d}x + \frac{\partial f}{\partial y} \mathrm{d}y$，代入偏导数得 $\mathrm{d}f = \frac{3}{2}(t + 1)^2 \mathrm{d}x - 2t \mathrm{d}y$。
最后，将 $t = 1$ 代入上述公式，得到在点 $(x, y) = (1, 1)$ 处的全微分 $\mathrm{d}f = \frac{3}{2} \mathrm{d}x - 2 \mathrm{d}y$。
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