2012年数二考研真题及答案解析如下：
一、选择题
1. 若函数$f(x) = x^3 - 3x$，则$f'(0) = \textbf{(A)} 0$
解析：$f'(x) = 3x^2 - 3$，则$f'(0) = -3$。
2. 设$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$，则$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{3x} = \textbf{(B)} 1$
解析：由$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$，得$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{3x} = \lim_{x\to 0}\frac{3\sin x}{3x} = 1$。
3. 设$f(x) = x^2 + 2x + 1$，则$f(x)$的极值点为$\textbf{(C)} -1$
解析：$f'(x) = 2x + 2$，令$f'(x) = 0$，得$x = -1$，又$f''(x) = 2$，所以$f(x)$在$x = -1$处取得极小值。
4. 若$f(x) = \sqrt{x}$，则$f'(4) = \textbf{(D)} \frac{1}{4}$
解析：$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$，则$f'(4) = \frac{1}{8}$。
二、填空题
1. 设$f(x) = x^2 - 2x + 1$，则$f(-1) = \textbf{0}$
解析：将$x = -1$代入$f(x)$，得$f(-1) = (-1)^2 - 2(-1) + 1 = 0$。
2. 设$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x} = 1$，则$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x^2)}{x} = \textbf{2}$
解析：由$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x} = 1$，得$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x^2)}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{2x\ln(1+x^2)}{x^2} = 2\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x^2)}{x^2} = 2$。
3. 设$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$，则$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{2x} = \textbf{1}$
解析：由$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$，得$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{2x} = \lim_{x\to 0}\frac{2\sin x}{2x} = 1$。
三、解答题
1. 求函数$f(x) = x^3 - 3x$的导数。
解析：$f'(x) = 3x^2 - 3$。
2. 求极限$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}$。
解析：$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{\frac{d}{dx}\ln(1+x)}{\frac{d}{dx}x} = \lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{1+x}}{1} = 1$。
3. 求函数$f(x) = x^2 + 2x + 1$的极值。
解析：$f'(x) = 2x + 2$，令$f'(x) = 0$，得$x = -1$，又$f''(x) = 2$，所以$f(x)$在$x = -1$处取得极小值。
4. 求极限$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$。
解析：$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{\frac{d}{dx}\sin x}{\frac{d}{dx}x} = \lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1} = 1$。
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