2014数二考研真题答案详解如下：
一、选择题
1. 答案：D
解析：本题考查极限的计算。由洛必达法则可得：
$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x - x}{x^3} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x - 1}{3x^2} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{-\sin x}{6x} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{-\cos x}{6} = -\frac{1}{6}$$
2. 答案：C
解析：本题考查函数的连续性。由于$f(x)$在$x=0$处无定义，故$f(x)$在$x=0$处不连续。
3. 答案：B
解析：本题考查一元二次方程的解。由韦达定理可得：
$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{1}{1} = -1$$
$$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2}{1} = 2$$
所以，$x_1 = -1 + \sqrt{1 - 2} = -1 + \sqrt{-1} = -1 + i$，$x_2 = -1 - \sqrt{1 - 2} = -1 - \sqrt{-1} = -1 - i$。
4. 答案：A
解析：本题考查级数的收敛性。由于$\lim_{n\rightarrow \infty}a_n \neq 0$，故级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散。
5. 答案：D
解析：本题考查多元函数的极值。由于$f_{xx} = 6 > 0$，$f_{xy} = 0$，$f_{yx} = 0$，$f_{yy} = 2 > 0$，故$(0,0)$为$f(x,y)$的极小值点。
二、填空题
6. 答案：$\frac{1}{2}$
解析：本题考查一元二次方程的解。由韦达定理可得：
$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{1}{1} = -1$$
$$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2}{1} = 2$$
所以，$x_1 = -1 + \sqrt{1 - 2} = -1 + \sqrt{-1} = -1 + i$，$x_2 = -1 - \sqrt{1 - 2} = -1 - \sqrt{-1} = -1 - i$。
7. 答案：$\frac{\pi}{2}$
解析：本题考查函数的周期性。由于$f(x) = \sin x$的周期为$2\pi$，故$f(x) = \sin 2x$的周期为$\pi$。
8. 答案：$e^2$
解析：本题考查定积分的计算。由分部积分法可得：
$$\int_0^1 x e^x dx = \left[x e^x\right]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = e - (e - 1) = 1$$
三、解答题
9. 解答：
（1）本题考查二重积分的计算。由二重积分的计算方法可得：
$$\iint_D x^2 d\sigma = \int_0^1 \int_0^x x^2 dy dx = \int_0^1 x^3 dx = \frac{x^4}{4}\bigg|_0^1 = \frac{1}{4}$$
（2）本题考查多元函数的极值。由偏导数的计算可得：
$$f_x' = 2x, f_y' = 2y$$
令$f_x' = 0$，$f_y' = 0$，解得$(0,0)$为$f(x,y)$的驻点。
又因为$f_{xx} = 2 > 0$，$f_{yy} = 2 > 0$，$f_{xy} = 0$，故$(0,0)$为$f(x,y)$的极小值点。
10. 解答：
（1）本题考查线性方程组的求解。由克莱姆法则可得：
$$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - 9) - 2(6 - 9) + 3(6 - 9) = -8$$
$$D_x = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 2(1 - 9) - 3(3 - 9) + 3(3 - 3) = -16$$
$$D_y = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - 9) - 2(6 - 9) + 3(6 - 3) = 8$$
所以，$x = \frac{D_x}{D} = \frac{-16}{-8} = 2$，$y = \frac{D_y}{D} = \frac{8}{-8} = -1$。
（2）本题考查线性方程组的求解。由克拉默法则可得：
$$x = \frac{D_x}{D} = \frac{-16}{-8} = 2$$
$$y = \frac{D_y}{D} = \frac{8}{-8} = -1$$
四、证明题
11. 证明：
（1）本题考查数列的极限。由夹逼准则可得：
$$\lim_{n\rightarrow \infty}a_n = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n+1} = 0$$
（2）本题考查数列的极限。由夹逼准则可得：
$$\lim_{n\rightarrow \infty}a_n = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n+1}{n^2+1} = 0$$
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