2025年数学二考研真题及答案解析如下：
一、选择题
1. 设函数 $f(x) = x^3 - 3x + 2$，则 $f'(1) = \quad \text{(A)} 1 \quad \text{(B)} -1 \quad \text{(C)} 2 \quad \text{(D)} -2$
答案：$\text{(B)} -1$
解析：对函数 $f(x)$ 求导得 $f'(x) = 3x^2 - 3$，代入 $x = 1$ 得 $f'(1) = -1$。
2. 设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$A^2 = A$，则 $A$ 是 $\quad \text{(A)}$ 单位矩阵 $\quad \text{(B)}$ 对角矩阵 $\quad \text{(C)}$ 零矩阵 $\quad \text{(D)}$ 可逆矩阵
答案：$\text{(A)}$ 单位矩阵
解析：由 $A^2 = A$ 可知 $A(A - E) = 0$，其中 $E$ 是单位矩阵。因此 $A$ 的特征值为 $1$ 或 $0$，故 $A$ 是单位矩阵。
3. 设 $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$，则 $f'(0) = \quad \text{(A)} 1 \quad \text{(B)} -1 \quad \text{(C)} 0 \quad \text{(D)} \frac{1}{2}$
答案：$\text{(B)} -1$
解析：对函数 $f(x)$ 求导得 $f'(x) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2}$，代入 $x = 0$ 得 $f'(0) = -1$。
二、填空题
4. 设 $a = \frac{1}{2}, b = \frac{1}{3}$，则 $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \quad \text{(答案)}$
答案：$\frac{\sqrt{6}}{3}$
解析：利用 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$，可得 $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$。
三、解答题
5. 求函数 $f(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$ 的极值。
答案：极大值 $f(-1) = f(1) = 1$，极小值 $f(0) = -1$。
解析：对函数 $f(x)$ 求导得 $f'(x) = \frac{2x}{(x^2 - 1)^2}$。令 $f'(x) = 0$，解得 $x = 0$。当 $x > 1$ 或 $x < -1$ 时，$f'(x) > 0$；当 $-1 < x < 1$ 时，$f'(x) < 0$。因此，$f(x)$ 在 $x = -1$ 和 $x = 1$ 处取得极大值，在 $x = 0$ 处取得极小值。
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