在2022年的考研数学中，证明题部分考察了考生对数学理论知识的深刻理解和灵活运用能力。以下是一道典型的证明题示例：
题目：证明：设函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续，在$(a, b)$内可导，且$f'(x) \neq 0$。若$\lim_{x \to a^+} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = L$，$\lim_{x \to b^-} \frac{f(x) - f(b)}{x - b} = M$，则存在$\xi \in (a, b)$，使得$f'(\xi) = \frac{L + M}{2}$。
解答：
1. 首先，构造辅助函数$F(x) = f(x) - f(a) - (x - a)L$，显然$F(a) = 0$。
2. 由拉格朗日中值定理，存在$\xi_1 \in (a, \xi)$，使得$F'(\xi_1) = \frac{F(\xi) - F(a)}{\xi - a} = \frac{f(\xi) - f(a) - (\xi - a)L}{\xi - a}$。
3. 同理，构造辅助函数$G(x) = f(x) - f(b) - (x - b)M$，显然$G(b) = 0$。
4. 由拉格朗日中值定理，存在$\xi_2 \in (\xi, b)$，使得$G'(\xi_2) = \frac{G(\xi) - G(b)}{\xi - b} = \frac{f(\xi) - f(b) - (\xi - b)M}{\xi - b}$。
5. 因为$F'(\xi_1) = G'(\xi_2)$，所以$\frac{f(\xi) - f(a) - (\xi - a)L}{\xi - a} = \frac{f(\xi) - f(b) - (\xi - b)M}{\xi - b}$。
6. 化简得$\xi - a = \frac{(\xi - b)(L - M)}{L + M}$，进一步得到$\xi = \frac{aL + bM}{L + M}$。
7. 由$f'(\xi) = \frac{L + M}{2}$，证明完成。
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