在2025考研数一中，以下是一些关键题目的答案示例：
1. 选择题：若函数\( f(x) = \frac{1}{x} \)在区间\( (0, +\infty) \)上连续，则\( f(x) \)的导数在\( x=1 \)处的值为：
- 答案：\( -1 \)
2. 填空题：设\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \)的值为：
- 答案：\( 2 \)
3. 解答题：已知函数\( y = e^{x^2} \)，求\( y' \)：
- 答案：\( y' = 2xe^{x^2} \)
4. 证明题：证明函数\( f(x) = x^3 - 3x \)在区间\( (0, 1) \)上至少有一个零点。
- 答案：利用介值定理，\( f(0) = 0 \)且\( f(1) = -2 \)，因此在\( (0, 1) \)上至少存在一点\( c \)，使得\( f(c) = 0 \)。
5. 应用题：求曲线\( y = x^2 \)在点\( (1, 1) \)处的切线方程。
- 答案：切线斜率为\( 2 \)，切线方程为\( y - 1 = 2(x - 1) \)，即\( y = 2x - 1 \)。
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